Calculadora online de teoría de juegos con pasos

Número de estrategias del jugador 1:

Número de estrategias del jugador 2:

matrixA,0,0,matrixmatrixA,1,0,matrixmatrixA,2,0,matrixmatrixA,3,0,matrix

matrixA,0,1,matrixmatrixA,1,1,matrixmatrixA,2,1,matrixmatrixA,3,1,matrix

matrixA,0,2,matrixmatrixA,1,2,matrixmatrixA,2,2,matrixmatrixA,3,2,matrix

matrixA,0,3,matrixmatrixA,1,3,matrixmatrixA,2,3,matrixmatrixA,3,3,matrix

Acerca de la calculadora de teoría de juegos

Resuelva juegos matriciales mediante teoría de juegos en línea — minimax, maximin, estrategias mixtas vía programación lineal, con solución detallada paso a paso. con descripción completa y detallada paso a paso de las soluciones, que resuelve problemas de programación lineal de hasta 20×20 con coeficientes de tipo: números decimales y fracciones.

Para iniciar el cálculo, primero hay que introducir las dimensiones del problema en los campos de entrada en la parte superior de la pantalla y elegir la operación deseada en el menú lateral.

Un poco más abajo encontrará una ventana de entrada donde se deben ingresar los coeficientes, las restricciones y los valores del lado derecho usando el teclado. Aquí también se encuentra el panel de control de entrada, que simplifica el trabajo con los problemas de PL y contiene los siguientes elementos de control:

El primer elemento permite expandir la ventana de entrada. Esto puede ser especialmente útil cuando la tabla no cabe completamente en la pantalla. Si la tabla aún no es totalmente visible después de expandir la ventana, puede cambiar la escala con los botones + / -;
El segundo elemento copia los datos de entrada del problema actual al búfer de memoria. Esto puede ser útil cuando se resuelve con frecuencia el mismo problema de PL o se necesita transferir datos entre operaciones;
Y el último elemento pega los datos de entrada copiados anteriormente, lo que permite restaurar los datos del problema en pocos clics en lugar de volver a ingresarlos manualmente;

Y más abajo encontrará una barra de herramientas que permite personalizar la calculadora y facilitar su uso. Está dividida visualmente en tres partes, cada una de las cuales se encarga de la siguiente funcionalidad:

La primera parte permite seleccionar el formato numérico utilizado al mostrar el resultado de la solución. También puede desactivar los comentarios paso a paso si ya conoce el método y solo necesita verificar sus propios cálculos, u ocultar la solución paso a paso por completo si solo necesita la respuesta final;
La segunda parte contiene botones que permiten modificar las dimensiones de la tabla de entrada, borrar coeficientes individuales o toda la entrada, y el botón principal con el signo igual que lleva a la pantalla de solución. Todos estos botones tienen atajos de teclado. Pase el cursor sobre un botón para ver la tecla correspondiente en un tooltip. También puede usar las teclas de flecha para mover el cursor entre los campos de entrada;
Y la última parte permite elegir el número de dígitos después del punto decimal para redondear resultados no enteros. Una vista previa en tiempo real muestra cómo aparecerán los valores redondeados;

¿Qué es un juego matricial (teoría de juegos)?

Un juego matricial es un juego de suma cero de dos jugadores finito en el que el Jugador 1 elige una fila y el Jugador 2 elige simultáneamente una columna de una matriz de pagos; el Jugador 1 recibe el valor correspondiente y el Jugador 2 lo paga. El teorema minimax garantiza que todo juego de suma cero finito tiene un valor — la cantidad que el Jugador 1 puede garantizarse independientemente de la estrategia del Jugador 2 — alcanzado en estrategias puras (punto de silla) o en estrategias mixtas (distribuciones de probabilidad sobre filas y columnas).

¿Cómo encontrar una solución en estrategias puras (punto de silla)?

Para cada fila, encuentre el mínimo de fila (el peor pago que el Jugador 1 puede garantizarse eligiendo esa fila). Para cada columna, encuentre el máximo de columna (el peor que el Jugador 2 puede garantizarse). Si el máximo de los mínimos de fila es igual al mínimo de los máximos de columna, existe un punto de silla; el valor del juego es ese número y ambos jugadores deben usar la estrategia pura correspondiente.

¿Cómo encontrar una solución en estrategias mixtas?

Cuando no existe punto de silla, ambos jugadores deben aleatorizar. El problema se convierte en un programa lineal: se desplaza la matriz de pagos por una constante para que todos los valores sean positivos, luego la estrategia mixta óptima del Jugador 1 resuelve un PL estándar cuyas variables son las probabilidades de estrategia normalizadas. Nuestra calculadora resuelve el PL interno con el método símplex sobre la matriz de pagos transpuesta y recupera ambas estrategias a partir de las soluciones primal y dual.

Ejemplo de resolución de un juego matricial

	B₁	B₂	B₃	mín
A₁	2	4	3	2	t₁
A₂	3	1	4	1	t₂
A₃	4	3	2	2	t₃
máx	4	4	4

Valor inferior (maximin)

α = 2

Valor superior (minimax)

β = 4

α ≠ β — no hay punto de silla. Se resuelve el juego matricial reduciéndolo a un programa lineal.

F(x) = x₁+x₂+x₃ → min

F(x) = x₁+x₂+x₃+0x₄+0x₅+0x₆+Mx₇+Mx₈+Mx₉ → min

2x₁+3x₂+4x₃ ≥ 1

2x₁+3x₂+4x₃-x₄+x₇ = 1

4x₁+x₂+3x₃ ≥ 1

4x₁+x₂+3x₃-x₅+x₈ = 1

3x₁+4x₂+2x₃ ≥ 1

3x₁+4x₂+2x₃-x₆+x₉ = 1

La etapa preliminar comienza con la necesidad de eliminar los valores negativos en la parte derecha de las restricciones. Para ello, las restricciones correspondientes se multiplican por -1. Tras esta operación, el signo de la desigualdad se invierte.

A continuación, hay que eliminar las desigualdades, para lo cual introducimos variables de holgura en el lado izquierdo de las desigualdades. Si la desigualdad es de la forma ≤, la variable de holgura lleva signo +; si la desigualdad es de la forma ≥, la variable de holgura lleva signo -. Las variables de holgura se incluyen en la función objetivo del problema con coeficiente cero.

Ahora, en el sistema de restricciones, es necesario encontrar un número suficiente de variables básicas. Cada restricción debe tener una variable básica. Una variable básica es aquella que tiene coeficiente 1 y aparece en una sola restricción. Si en alguna restricción no hay variables básicas, las añadimos artificialmente; las variables artificiales entran en la función objetivo con coeficiente -M si la función objetivo tiende a max, y M si tiende a min.

Descripción

Iteración 1

B	Cb	P	x₁↓	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	x₈	x₉	Q
B	Cb	P	1	1	1	0	0	0	M	M	M	Q
x₇	M	1	2	3	4	-1	0	0	1	0	0	12
x₈←	M	1	4	1	3	0	-1	0	0	1	0	14
x₉	M	1	3	4	2	0	0	-1	0	0	1	13
min		3M	9M-1	8M-1	9M-1	-M	-M	-M	0	0	0

Elementos de la columna base (B)

Trasladamos a la tabla los elementos básicos identificados en la etapa preliminar:

B₁ = x₇;

B₂ = x₈;

B₃ = x₉;

Elementos de la columna Cb

Cada celda de esta columna es igual al coeficiente que corresponde a la variable básica de la fila correspondiente.

Cb₁ = M;

Cb₂ = M;

Cb₃ = M;

Valores de las variables y columna P

En esta etapa no se realizan cálculos; simplemente se transfieren los valores de la etapa preliminar a las celdas de la tabla correspondientes:

P₁ = 1;

P₂ = 1;

P₃ = 1;

x_1,1 = 2;

x_1,2 = 3;

x_1,3 = 4;

x_1,4 = -1;

x_1,5 = 0;

x_1,6 = 0;

x_1,7 = 1;

x_1,8 = 0;

x_1,9 = 0;

x_2,1 = 4;

x_2,2 = 1;

x_2,3 = 3;

x_2,4 = 0;

x_2,5 = -1;

x_2,6 = 0;

x_2,7 = 0;

x_2,8 = 1;

x_2,9 = 0;

x_3,1 = 3;

x_3,2 = 4;

x_3,3 = 2;

x_3,4 = 0;

x_3,5 = 0;

x_3,6 = -1;

x_3,7 = 0;

x_3,8 = 0;

x_3,9 = 1;

Valor de la función objetivo

Calculamos el valor de la función objetivo multiplicando elemento a elemento la columna Cb por la columna P y sumando los productos.

Min_P = (Cb₁ * P₁) + (Cb₂ * P₂) + (Cb₃ * P₃) = (M * 1) + (M * 1) + (M * 1) = 3M;

Estimaciones de las variables controladas

Calculamos las estimaciones para cada variable controlada multiplicando elemento a elemento el valor de la columna de la variable por el valor de la columna Cb, sumando los productos y restando el coeficiente de la función objetivo para esa variable.

Min_x₁ = ((Cb₁ * x_1,1) + (Cb₂ * x_2,1) + (Cb₃ * x_3,1)) - k_x₁ = ((M * 2) + (M * 4) + (M * 3)) - 1 = 9M-1;

Min_x₂ = ((Cb₁ * x_1,2) + (Cb₂ * x_2,2) + (Cb₃ * x_3,2)) - k_x₂ = ((M * 3) + (M * 1) + (M * 4)) - 1 = 8M-1;

Min_x₃ = ((Cb₁ * x_1,3) + (Cb₂ * x_2,3) + (Cb₃ * x_3,3)) - k_x₃ = ((M * 4) + (M * 3) + (M * 2)) - 1 = 9M-1;

Min_x₄ = ((Cb₁ * x_1,4) + (Cb₂ * x_2,4) + (Cb₃ * x_3,4)) - k_x₄ = ((M * -1) + (M * 0) + (M * 0)) - 0 = -M;

Min_x₅ = ((Cb₁ * x_1,5) + (Cb₂ * x_2,5) + (Cb₃ * x_3,5)) - k_x₅ = ((M * 0) + (M * -1) + (M * 0)) - 0 = -M;

Min_x₆ = ((Cb₁ * x_1,6) + (Cb₂ * x_2,6) + (Cb₃ * x_3,6)) - k_x₆ = ((M * 0) + (M * 0) + (M * -1)) - 0 = -M;

Min_x₇ = ((Cb₁ * x_1,7) + (Cb₂ * x_2,7) + (Cb₃ * x_3,7)) - k_x₇ = ((M * 1) + (M * 0) + (M * 0)) - M = 0;

Min_x₈ = ((Cb₁ * x_1,8) + (Cb₂ * x_2,8) + (Cb₃ * x_3,8)) - k_x₈ = ((M * 0) + (M * 1) + (M * 0)) - M = 0;

Min_x₉ = ((Cb₁ * x_1,9) + (Cb₂ * x_2,9) + (Cb₃ * x_3,9)) - k_x₉ = ((M * 0) + (M * 0) + (M * 1)) - M = 0;

Elementos de la columna Q

Como hay valores positivos entre las estimaciones de las variables controladas, la tabla actual aún no tiene solución óptima. Por lo tanto, introducimos en la base la variable con la estimación positiva más alta.

El número de variables en la base es siempre constante, por lo que es necesario elegir qué variable sacar de la base, para lo cual calculamos Q.

Los elementos de la columna Q se calculan dividiendo los valores de la columna P entre el valor de la columna correspondiente a la variable que entra a la base:

Q₁ = P₁x_1,1 = 12 = 12;

Q₂ = P₂x_2,1 = 14 = 14;

Q₃ = P₃x_3,1 = 13 = 13;

Sacamos de la base la variable con el valor positivo más pequeño de Q.

En la intersección de la fila que corresponde a la variable que sale de la base y la columna que corresponde a la variable que entra a la base se encuentra el elemento resolutivo.

Este elemento nos permitirá calcular los elementos de la tabla de la siguiente iteración.

Descripción

Iteración 2

B	Cb	P	x₁	x₂↓	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	x₈	x₉	Q
B	Cb	P	1	1	1	0	0	0	M	M	M	Q
x₇	M	12	0	212	212	-1	12	0	1	-12	0	15
x₁	1	14	1	14	34	0	-14	0	0	14	0	1
x₉←	M	14	0	314	-14	0	34	-1	0	-34	1	113
min		34M+14	0	534M-34	214M-14	-M	114M-14	-M	0	-214M+14	0

Elementos de la columna base (B)

Con los resultados de los cálculos de la iteración anterior, extraemos de la base la variable x₈ y en su lugar introducimos x₁. El resto de las celdas permanece sin cambios.

Elementos de la columna Cb

Cada celda de esta columna es igual al coeficiente que corresponde a la variable básica de la fila correspondiente.

Cb₁ = M;

Cb₂ = 1;

Cb₃ = M;

Valores de las variables y columna P

(Los datos de la iteración anterior se toman como datos iniciales)

Llenamos con ceros todas las celdas correspondientes a la variable que acaba de entrar a la base:

(El elemento resolutivo permanece sin cambios)

x_1,1 = 0;

x_3,1 = 0;

Trasladamos la fila con el elemento resolutivo de la tabla anterior a la tabla actual, dividiendo elemento a elemento sus valores entre el elemento resolutivo:

x_2,1 = x_2,1x_2,1 = 44 = 1;

x_2,2 = x_2,2x_2,1 = 14 = 14;

x_2,3 = x_2,3x_2,1 = 34 = 34;

x_2,4 = x_2,4x_2,1 = 04 = 0;

x_2,5 = x_2,5x_2,1 = -14 = -14;

x_2,6 = x_2,6x_2,1 = 04 = 0;

x_2,7 = x_2,7x_2,1 = 04 = 0;

x_2,8 = x_2,8x_2,1 = 14 = 14;

x_2,9 = x_2,9x_2,1 = 04 = 0;

P₂ = P₂x_2,1 = 14 = 14;

Las celdas vacías restantes, excepto la fila de estimaciones y la columna Q, se calculan usando el método del rectángulo respecto al elemento resolutivo:

x_1,2 = (x_1,2 * x_2,1) - (x_1,1 * x_2,2)x_2,1 = (3 * 4) - (2 * 1)4 = 212;

x_1,3 = (x_1,3 * x_2,1) - (x_1,1 * x_2,3)x_2,1 = (4 * 4) - (2 * 3)4 = 212;

x_1,4 = (x_1,4 * x_2,1) - (x_1,1 * x_2,4)x_2,1 = (-1 * 4) - (2 * 0)4 = -1;

x_1,5 = (x_1,5 * x_2,1) - (x_1,1 * x_2,5)x_2,1 = (0 * 4) - (2 * -1)4 = 12;

x_1,6 = (x_1,6 * x_2,1) - (x_1,1 * x_2,6)x_2,1 = (0 * 4) - (2 * 0)4 = 0;

x_1,7 = (x_1,7 * x_2,1) - (x_1,1 * x_2,7)x_2,1 = (1 * 4) - (2 * 0)4 = 1;

x_1,8 = (x_1,8 * x_2,1) - (x_1,1 * x_2,8)x_2,1 = (0 * 4) - (2 * 1)4 = -12;

x_1,9 = (x_1,9 * x_2,1) - (x_1,1 * x_2,9)x_2,1 = (0 * 4) - (2 * 0)4 = 0;

P₁ = (P₁ * x_2,1) - (x_1,1 * P₂)x_2,1 = (1 * 4) - (2 * 1)4 = 12;

x_3,2 = (x_3,2 * x_2,1) - (x_3,1 * x_2,2)x_2,1 = (4 * 4) - (3 * 1)4 = 314;

x_3,3 = (x_3,3 * x_2,1) - (x_3,1 * x_2,3)x_2,1 = (2 * 4) - (3 * 3)4 = -14;

x_3,4 = (x_3,4 * x_2,1) - (x_3,1 * x_2,4)x_2,1 = (0 * 4) - (3 * 0)4 = 0;

x_3,5 = (x_3,5 * x_2,1) - (x_3,1 * x_2,5)x_2,1 = (0 * 4) - (3 * -1)4 = 34;

x_3,6 = (x_3,6 * x_2,1) - (x_3,1 * x_2,6)x_2,1 = (-1 * 4) - (3 * 0)4 = -1;

x_3,7 = (x_3,7 * x_2,1) - (x_3,1 * x_2,7)x_2,1 = (0 * 4) - (3 * 0)4 = 0;

x_3,8 = (x_3,8 * x_2,1) - (x_3,1 * x_2,8)x_2,1 = (0 * 4) - (3 * 1)4 = -34;

x_3,9 = (x_3,9 * x_2,1) - (x_3,1 * x_2,9)x_2,1 = (1 * 4) - (3 * 0)4 = 1;

P₃ = (P₃ * x_2,1) - (x_3,1 * P₂)x_2,1 = (1 * 4) - (3 * 1)4 = 14;

Valor de la función objetivo

Calculamos el valor de la función objetivo multiplicando elemento a elemento la columna Cb por la columna P y sumando los productos.

Min_P = (Cb₁ * P₁) + (Cb₂ * P₂) + (Cb₃ * P₃) = (M * 12) + (1 * 14) + (M * 14) = 34M+14;

Estimaciones de las variables controladas

Min_x₁ = ((Cb₁ * x_1,1) + (Cb₂ * x_2,1) + (Cb₃ * x_3,1)) - k_x₁ = ((M * 0) + (1 * 1) + (M * 0)) - 1 = 0;

Min_x₂ = ((Cb₁ * x_1,2) + (Cb₂ * x_2,2) + (Cb₃ * x_3,2)) - k_x₂ = ((M * 212) + (1 * 14) + (M * 314)) - 1 = 534M-34;

Min_x₃ = ((Cb₁ * x_1,3) + (Cb₂ * x_2,3) + (Cb₃ * x_3,3)) - k_x₃ = ((M * 212) + (1 * 34) + (M * -14)) - 1 = 214M-14;

Min_x₄ = ((Cb₁ * x_1,4) + (Cb₂ * x_2,4) + (Cb₃ * x_3,4)) - k_x₄ = ((M * -1) + (1 * 0) + (M * 0)) - 0 = -M;

Min_x₅ = ((Cb₁ * x_1,5) + (Cb₂ * x_2,5) + (Cb₃ * x_3,5)) - k_x₅ = ((M * 12) + (1 * -14) + (M * 34)) - 0 = 114M-14;

Min_x₆ = ((Cb₁ * x_1,6) + (Cb₂ * x_2,6) + (Cb₃ * x_3,6)) - k_x₆ = ((M * 0) + (1 * 0) + (M * -1)) - 0 = -M;

Min_x₇ = ((Cb₁ * x_1,7) + (Cb₂ * x_2,7) + (Cb₃ * x_3,7)) - k_x₇ = ((M * 1) + (1 * 0) + (M * 0)) - M = 0;

Min_x₈ = ((Cb₁ * x_1,8) + (Cb₂ * x_2,8) + (Cb₃ * x_3,8)) - k_x₈ = ((M * -12) + (1 * 14) + (M * -34)) - M = -214M+14;

Min_x₉ = ((Cb₁ * x_1,9) + (Cb₂ * x_2,9) + (Cb₃ * x_3,9)) - k_x₉ = ((M * 0) + (1 * 0) + (M * 1)) - M = 0;

Elementos de la columna Q

El número de variables en la base es siempre constante, por lo que es necesario elegir qué variable sacar de la base, para lo cual calculamos Q.

Los elementos de la columna Q se calculan dividiendo los valores de la columna P entre el valor de la columna correspondiente a la variable que entra a la base:

Q₁ = P₁x_1,2 = 12212 = 15;

Q₂ = P₂x_2,2 = 1414 = 1;

Q₃ = P₃x_3,2 = 14314 = 113;

Sacamos de la base la variable con el valor positivo más pequeño de Q.

En la intersección de la fila que corresponde a la variable que sale de la base y la columna que corresponde a la variable que entra a la base se encuentra el elemento resolutivo.

Este elemento nos permitirá calcular los elementos de la tabla de la siguiente iteración.

Descripción

Iteración 3

B	Cb	P	x₁	x₂	x₃↓	x₄	x₅	x₆	x₇	x₈	x₉	Q
B	Cb	P	1	1	1	0	0	0	M	M	M	Q
x₇←	M	413	0	0	2913	-1	-113	1013	1	113	-1013	435
x₁	1	313	1	0	1013	0	-413	113	0	413	-113	310
x₂	1	113	0	1	-113	0	313	-413	0	-313	413	∞
min		413M+413	0	0	2913M-413	-M	-113M-113	1013M-313	0	-1213M+113	-11013M+313

Elementos de la columna base (B)

Con los resultados de los cálculos de la iteración anterior, extraemos de la base la variable x₉ y en su lugar introducimos x₂. El resto de las celdas permanece sin cambios.

Elementos de la columna Cb

Cada celda de esta columna es igual al coeficiente que corresponde a la variable básica de la fila correspondiente.

Cb₁ = M;

Cb₂ = 1;

Cb₃ = 1;

Valores de las variables y columna P

(Los datos de la iteración anterior se toman como datos iniciales)

Llenamos con ceros todas las celdas correspondientes a la variable que acaba de entrar a la base:

(El elemento resolutivo permanece sin cambios)

x_1,2 = 0;

x_2,2 = 0;

Trasladamos la fila con el elemento resolutivo de la tabla anterior a la tabla actual, dividiendo elemento a elemento sus valores entre el elemento resolutivo:

x_3,1 = x_3,1x_3,2 = 0314 = 0;

x_3,2 = x_3,2x_3,2 = 314314 = 1;

x_3,3 = x_3,3x_3,2 = -14314 = -113;

x_3,4 = x_3,4x_3,2 = 0314 = 0;

x_3,5 = x_3,5x_3,2 = 34314 = 313;

x_3,6 = x_3,6x_3,2 = -1314 = -413;

x_3,7 = x_3,7x_3,2 = 0314 = 0;

x_3,8 = x_3,8x_3,2 = -34314 = -313;

x_3,9 = x_3,9x_3,2 = 1314 = 413;

P₃ = P₃x_3,2 = 14314 = 113;

Las celdas vacías restantes, excepto la fila de estimaciones y la columna Q, se calculan usando el método del rectángulo respecto al elemento resolutivo:

x_1,1 = (x_1,1 * x_3,2) - (x_1,2 * x_3,1)x_3,2 = (0 * 314) - (212 * 0)314 = 0;

x_1,3 = (x_1,3 * x_3,2) - (x_1,2 * x_3,3)x_3,2 = (212 * 314) - (212 * -14)314 = 2913;

x_1,4 = (x_1,4 * x_3,2) - (x_1,2 * x_3,4)x_3,2 = (-1 * 314) - (212 * 0)314 = -1;

x_1,5 = (x_1,5 * x_3,2) - (x_1,2 * x_3,5)x_3,2 = (12 * 314) - (212 * 34)314 = -113;

x_1,6 = (x_1,6 * x_3,2) - (x_1,2 * x_3,6)x_3,2 = (0 * 314) - (212 * -1)314 = 1013;

x_1,7 = (x_1,7 * x_3,2) - (x_1,2 * x_3,7)x_3,2 = (1 * 314) - (212 * 0)314 = 1;

x_1,8 = (x_1,8 * x_3,2) - (x_1,2 * x_3,8)x_3,2 = (-12 * 314) - (212 * -34)314 = 113;

x_1,9 = (x_1,9 * x_3,2) - (x_1,2 * x_3,9)x_3,2 = (0 * 314) - (212 * 1)314 = -1013;

P₁ = (P₁ * x_3,2) - (x_1,2 * P₃)x_3,2 = (12 * 314) - (212 * 14)314 = 413;

x_2,1 = (x_2,1 * x_3,2) - (x_2,2 * x_3,1)x_3,2 = (1 * 314) - (14 * 0)314 = 1;

x_2,3 = (x_2,3 * x_3,2) - (x_2,2 * x_3,3)x_3,2 = (34 * 314) - (14 * -14)314 = 1013;

x_2,4 = (x_2,4 * x_3,2) - (x_2,2 * x_3,4)x_3,2 = (0 * 314) - (14 * 0)314 = 0;

x_2,5 = (x_2,5 * x_3,2) - (x_2,2 * x_3,5)x_3,2 = (-14 * 314) - (14 * 34)314 = -413;

x_2,6 = (x_2,6 * x_3,2) - (x_2,2 * x_3,6)x_3,2 = (0 * 314) - (14 * -1)314 = 113;

x_2,7 = (x_2,7 * x_3,2) - (x_2,2 * x_3,7)x_3,2 = (0 * 314) - (14 * 0)314 = 0;

x_2,8 = (x_2,8 * x_3,2) - (x_2,2 * x_3,8)x_3,2 = (14 * 314) - (14 * -34)314 = 413;

x_2,9 = (x_2,9 * x_3,2) - (x_2,2 * x_3,9)x_3,2 = (0 * 314) - (14 * 1)314 = -113;

P₂ = (P₂ * x_3,2) - (x_2,2 * P₃)x_3,2 = (14 * 314) - (14 * 14)314 = 313;

Valor de la función objetivo

Calculamos el valor de la función objetivo multiplicando elemento a elemento la columna Cb por la columna P y sumando los productos.

Min_P = (Cb₁ * P₁) + (Cb₂ * P₂) + (Cb₃ * P₃) = (M * 413) + (1 * 313) + (1 * 113) = 413M+413;

Estimaciones de las variables controladas

Min_x₁ = ((Cb₁ * x_1,1) + (Cb₂ * x_2,1) + (Cb₃ * x_3,1)) - k_x₁ = ((M * 0) + (1 * 1) + (1 * 0)) - 1 = 0;

Min_x₂ = ((Cb₁ * x_1,2) + (Cb₂ * x_2,2) + (Cb₃ * x_3,2)) - k_x₂ = ((M * 0) + (1 * 0) + (1 * 1)) - 1 = 0;

Min_x₃ = ((Cb₁ * x_1,3) + (Cb₂ * x_2,3) + (Cb₃ * x_3,3)) - k_x₃ = ((M * 2913) + (1 * 1013) + (1 * -113)) - 1 = 2913M-413;

Min_x₄ = ((Cb₁ * x_1,4) + (Cb₂ * x_2,4) + (Cb₃ * x_3,4)) - k_x₄ = ((M * -1) + (1 * 0) + (1 * 0)) - 0 = -M;

Min_x₅ = ((Cb₁ * x_1,5) + (Cb₂ * x_2,5) + (Cb₃ * x_3,5)) - k_x₅ = ((M * -113) + (1 * -413) + (1 * 313)) - 0 = -113M-113;

Min_x₆ = ((Cb₁ * x_1,6) + (Cb₂ * x_2,6) + (Cb₃ * x_3,6)) - k_x₆ = ((M * 1013) + (1 * 113) + (1 * -413)) - 0 = 1013M-313;

Min_x₇ = ((Cb₁ * x_1,7) + (Cb₂ * x_2,7) + (Cb₃ * x_3,7)) - k_x₇ = ((M * 1) + (1 * 0) + (1 * 0)) - M = 0;

Min_x₈ = ((Cb₁ * x_1,8) + (Cb₂ * x_2,8) + (Cb₃ * x_3,8)) - k_x₈ = ((M * 113) + (1 * 413) + (1 * -313)) - M = -1213M+113;

Min_x₉ = ((Cb₁ * x_1,9) + (Cb₂ * x_2,9) + (Cb₃ * x_3,9)) - k_x₉ = ((M * -1013) + (1 * -113) + (1 * 413)) - M = -11013M+313;

Elementos de la columna Q

El número de variables en la base es siempre constante, por lo que es necesario elegir qué variable sacar de la base, para lo cual calculamos Q.

Los elementos de la columna Q se calculan dividiendo los valores de la columna P entre el valor de la columna correspondiente a la variable que entra a la base:

Q₁ = P₁x_1,3 = 4132913 = 435;

Q₂ = P₂x_2,3 = 3131013 = 310;

Q₃ = P₃x_3,3 = 113-113 = ∞;

Sacamos de la base la variable con el valor positivo más pequeño de Q.

En la intersección de la fila que corresponde a la variable que sale de la base y la columna que corresponde a la variable que entra a la base se encuentra el elemento resolutivo.

Este elemento nos permitirá calcular los elementos de la tabla de la siguiente iteración.

Descripción

Iteración 4

B	Cb	P	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	x₈	x₉	Q
B	Cb	P	1	1	1	0	0	0	M	M	M	Q
x₃	1	435	0	0	1	-1335	-135	27	1335	135	-27
x₁	1	17	1	0	0	27	-27	-17	-27	27	17
x₂	1	335	0	1	0	-135	835	-27	135	-835	27
min		1235	0	0	0	-435	-335	-17	-M+435	-M+335	-M+17

Elementos de la columna base (B)

Con los resultados de los cálculos de la iteración anterior, extraemos de la base la variable x₇ y en su lugar introducimos x₃. El resto de las celdas permanece sin cambios.

Elementos de la columna Cb

Cada celda de esta columna es igual al coeficiente que corresponde a la variable básica de la fila correspondiente.

Cb₁ = 1;

Cb₂ = 1;

Cb₃ = 1;

Valores de las variables y columna P

(Los datos de la iteración anterior se toman como datos iniciales)

Llenamos con ceros todas las celdas correspondientes a la variable que acaba de entrar a la base:

(El elemento resolutivo permanece sin cambios)

x_2,3 = 0;

x_3,3 = 0;

Trasladamos la fila con el elemento resolutivo de la tabla anterior a la tabla actual, dividiendo elemento a elemento sus valores entre el elemento resolutivo:

x_1,1 = x_1,1x_1,3 = 02913 = 0;

x_1,2 = x_1,2x_1,3 = 02913 = 0;

x_1,3 = x_1,3x_1,3 = 29132913 = 1;

x_1,4 = x_1,4x_1,3 = -12913 = -1335;

x_1,5 = x_1,5x_1,3 = -1132913 = -135;

x_1,6 = x_1,6x_1,3 = 10132913 = 27;

x_1,7 = x_1,7x_1,3 = 12913 = 1335;

x_1,8 = x_1,8x_1,3 = 1132913 = 135;

x_1,9 = x_1,9x_1,3 = -10132913 = -27;

P₁ = P₁x_1,3 = 4132913 = 435;

Las celdas vacías restantes, excepto la fila de estimaciones y la columna Q, se calculan usando el método del rectángulo respecto al elemento resolutivo:

x_2,1 = (x_2,1 * x_1,3) - (x_2,3 * x_1,1)x_1,3 = (1 * 2913) - (1013 * 0)2913 = 1;

x_2,2 = (x_2,2 * x_1,3) - (x_2,3 * x_1,2)x_1,3 = (0 * 2913) - (1013 * 0)2913 = 0;

x_2,4 = (x_2,4 * x_1,3) - (x_2,3 * x_1,4)x_1,3 = (0 * 2913) - (1013 * -1)2913 = 27;

x_2,5 = (x_2,5 * x_1,3) - (x_2,3 * x_1,5)x_1,3 = (-413 * 2913) - (1013 * -113)2913 = -27;

x_2,6 = (x_2,6 * x_1,3) - (x_2,3 * x_1,6)x_1,3 = (113 * 2913) - (1013 * 1013)2913 = -17;

x_2,7 = (x_2,7 * x_1,3) - (x_2,3 * x_1,7)x_1,3 = (0 * 2913) - (1013 * 1)2913 = -27;

x_2,8 = (x_2,8 * x_1,3) - (x_2,3 * x_1,8)x_1,3 = (413 * 2913) - (1013 * 113)2913 = 27;

x_2,9 = (x_2,9 * x_1,3) - (x_2,3 * x_1,9)x_1,3 = (-113 * 2913) - (1013 * -1013)2913 = 17;

P₂ = (P₂ * x_1,3) - (x_2,3 * P₁)x_1,3 = (313 * 2913) - (1013 * 413)2913 = 17;

x_3,1 = (x_3,1 * x_1,3) - (x_3,3 * x_1,1)x_1,3 = (0 * 2913) - (-113 * 0)2913 = 0;

x_3,2 = (x_3,2 * x_1,3) - (x_3,3 * x_1,2)x_1,3 = (1 * 2913) - (-113 * 0)2913 = 1;

x_3,4 = (x_3,4 * x_1,3) - (x_3,3 * x_1,4)x_1,3 = (0 * 2913) - (-113 * -1)2913 = -135;

x_3,5 = (x_3,5 * x_1,3) - (x_3,3 * x_1,5)x_1,3 = (313 * 2913) - (-113 * -113)2913 = 835;

x_3,6 = (x_3,6 * x_1,3) - (x_3,3 * x_1,6)x_1,3 = (-413 * 2913) - (-113 * 1013)2913 = -27;

x_3,7 = (x_3,7 * x_1,3) - (x_3,3 * x_1,7)x_1,3 = (0 * 2913) - (-113 * 1)2913 = 135;

x_3,8 = (x_3,8 * x_1,3) - (x_3,3 * x_1,8)x_1,3 = (-313 * 2913) - (-113 * 113)2913 = -835;

x_3,9 = (x_3,9 * x_1,3) - (x_3,3 * x_1,9)x_1,3 = (413 * 2913) - (-113 * -1013)2913 = 27;

P₃ = (P₃ * x_1,3) - (x_3,3 * P₁)x_1,3 = (113 * 2913) - (-113 * 413)2913 = 335;

Valor de la función objetivo

Calculamos el valor de la función objetivo multiplicando elemento a elemento la columna Cb por la columna P y sumando los productos.

Min_P = (Cb₁ * P₁) + (Cb₂ * P₂) + (Cb₃ * P₃) = (1 * 435) + (1 * 17) + (1 * 335) = 1235;

Estimaciones de las variables controladas

Min_x₁ = ((Cb₁ * x_1,1) + (Cb₂ * x_2,1) + (Cb₃ * x_3,1)) - k_x₁ = ((1 * 0) + (1 * 1) + (1 * 0)) - 1 = 0;

Min_x₂ = ((Cb₁ * x_1,2) + (Cb₂ * x_2,2) + (Cb₃ * x_3,2)) - k_x₂ = ((1 * 0) + (1 * 0) + (1 * 1)) - 1 = 0;

Min_x₃ = ((Cb₁ * x_1,3) + (Cb₂ * x_2,3) + (Cb₃ * x_3,3)) - k_x₃ = ((1 * 1) + (1 * 0) + (1 * 0)) - 1 = 0;

Min_x₄ = ((Cb₁ * x_1,4) + (Cb₂ * x_2,4) + (Cb₃ * x_3,4)) - k_x₄ = ((1 * -1335) + (1 * 27) + (1 * -135)) - 0 = -435;

Min_x₅ = ((Cb₁ * x_1,5) + (Cb₂ * x_2,5) + (Cb₃ * x_3,5)) - k_x₅ = ((1 * -135) + (1 * -27) + (1 * 835)) - 0 = -335;

Min_x₆ = ((Cb₁ * x_1,6) + (Cb₂ * x_2,6) + (Cb₃ * x_3,6)) - k_x₆ = ((1 * 27) + (1 * -17) + (1 * -27)) - 0 = -17;

Min_x₇ = ((Cb₁ * x_1,7) + (Cb₂ * x_2,7) + (Cb₃ * x_3,7)) - k_x₇ = ((1 * 1335) + (1 * -27) + (1 * 135)) - M = -M+435;

Min_x₈ = ((Cb₁ * x_1,8) + (Cb₂ * x_2,8) + (Cb₃ * x_3,8)) - k_x₈ = ((1 * 135) + (1 * 27) + (1 * -835)) - M = -M+335;

Min_x₉ = ((Cb₁ * x_1,9) + (Cb₂ * x_2,9) + (Cb₃ * x_3,9)) - k_x₉ = ((1 * -27) + (1 * 17) + (1 * 27)) - M = -M+17;

Respuesta

Como no hay valores positivos entre las estimaciones de las variables controladas, la tabla actual tiene una solución óptima.

El valor de la función objetivo:

F* = 1235;

Las variables presentes en la base son iguales a las celdas correspondientes de la columna P; todas las demás variables son iguales a cero:

x₁ = 17;

x₂ = 335;

x₃ = 435;

Descripción

Answer

v → max min

F* = 1235

X* = (17; 335; 435)

Estrategias del jugador I3Estrategias del jugador II3TipoEstrategia mixta

Preguntas frecuentes

¿Qué resuelve esta calculadora de teoría de juegos?

Resuelve juegos de suma cero de dos jugadores a partir de una matriz de pagos, hallando el valor del juego y la estrategia óptima de cada jugador: una estrategia pura en un punto de silla, o una estrategia mixta cuando no existe punto de silla.

¿Qué es un punto de silla?

Un punto de silla es una entrada que es el mínimo de su fila y el máximo de su columna. Cuando existe uno, el juego tiene solución en estrategias puras y el valor del punto de silla es el valor del juego.

¿Cómo se calculan las estrategias mixtas?

Cuando no hay punto de silla, el juego se convierte en un par de programas lineales y se resuelve con el método símplex. Las probabilidades resultantes indican a cada jugador con qué frecuencia jugar cada opción para garantizar el valor del juego en promedio.

¿Qué representa el «valor del juego»?

Es el pago promedio que el primer jugador puede asegurar, y al que el segundo jugador puede limitarlo, bajo un juego óptimo. Un valor positivo favorece al jugador de las filas y un valor negativo favorece al jugador de las columnas.

Fuentes

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x_i ↓	- introducimos una variable en la base;
x_i←	- extraemos la variable de la base;
x_i	- elemento resolutivo;
x_i	- elemento básico;
B	- base;
Cb	- coeficiente de la variable básica;
P	- plan;

Acerca de la calculadora de teoría de juegos

¿Qué es un juego matricial (teoría de juegos)?

¿Cómo encontrar una solución en estrategias puras (punto de silla)?

¿Cómo encontrar una solución en estrategias mixtas?

Ejemplo de resolución de un juego matricial

Preguntas frecuentes

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